Sequences & Series — Where a Geometric Series Turns Into a Discount Rate

Daily Math, Day 1/52 · 2026-08-12 · Opening section (the time value of money and markets)

"Why does the value of an infinitely continuing cash flow come out to a finite number?" sounds like a finance question, but the whole answer is in the high-school geometric series. If the common ratio is less than 1, the infinite sum converges — that one line is DCF's terminal value, a token's total supply, and Bitcoin's 21 million.

One-line summary — The discount rate is the common ratio that decides "how fast to shrink the future." For the sum to be finite, that ratio has to be under 1, and that condition is exactly the valuation assumption d > g.

The finite sum: derived in one line of algebra

Let a geometric sequence with first term a and common ratio r have partial sum S over n terms. Multiply both sides by r and subtract, and the middle terms all cancel.

S    = a + ar + ar² + … + ar^(n−1)
rS   =     ar + ar² + … + ar^(n−1) + ar^n
─────────────────────────────────────────
S−rS = a − ar^n        →     S = a(1 − r^n)/(1 − r)     (r ≠ 1)

This isn't something to memorize — it's a one-line derivation. This same telescoping (collapsing like a telescope) shows up again in exactly the same shape in the potential function proof for amortized analysis.

The infinite sum: it all comes down to the convergence condition

If |r| < 1, then r^n → 0 as n → ∞, so

S∞ = a / (1 − r)          (only when |r| < 1)

If |r| ≥ 1, the terms don't shrink and the series diverges. This one condition is the gate to everything that follows.

The discount rate is the common ratio

1 unit of currency a year from now is worth 1/(1+d) of it today (discount rate d). Move a cash flow CF that grows by g each period into present value and sum it, and each term's ratio to the last is constant — a geometric series.

PV = CF/(1+d) + CF(1+g)/(1+d)² + CF(1+g)²/(1+d)³ + …
   → first term a = CF/(1+d),  common ratio r = (1+g)/(1+d)
   → PV = a/(1−r) = CF/(d−g)

Here, r < 1 ⟺ (1+g) < (1+d) ⟺ g < d. The valuation assumption that "growth has to be below the discount rate" isn't a finance convention — it's the series' convergence condition — and setting d ≤ g makes the value diverge, at which point the calculation itself becomes meaningless. It's common for terminal value to make up more than half of total value in a DCF, which is another way of saying that half comes out of this one line.

CF, d, g, N = 100.0, 0.08, 0.03, 200

closed = CF / (d - g)                       # Gordon growth model
partial, term = 0.0, CF / (1 + d)
r = (1 + g) / (1 + d)
for k in range(N):                          # how fast the partial sum catches up
    partial += term
    if k in (9, 49, 99, 199):
        print(f"n={k+1:3}  partial={partial:10.4f}  error={closed-partial:8.4f}")
    term *= r
print(f"closed form = {closed:.4f}")           # 2000.0000

Convergence speed is also set by the common ratio — r = 1.03/1.08 ≈ 0.954, so the decimal places don't settle until around the 100th term. The closer d and g get to each other, the larger the value gets, and the more unstable it becomes at the same time — which is the practical warning this formula carries.

Where the same series shows up in blockchain

• Bitcoin's total supply — the block reward halves every 210,000 blocks, so 50 × 210,000 × (1 + ½ + ¼ + …) = 50 × 210,000 × 2 = 21,000,000. The answer to "why exactly 21 million" is the sum of the infinite geometric series, 1/(1−½) = 2.
• Token emission/vesting — an emission schedule that shrinks by a fixed ratio each period has a total that's computable in closed form. The closer the decay rate is to 1, the more "it ends eventually" becomes, in practice, never ending.
• Exponential backoff — Verex's ChainJob 5s → 25s → 125s is a divergent geometric sequence with common ratio 5. The divergence is the point: bundling the total retry count on a log scale keeps the system standing even through a run of consecutive failures.
• The present value of a fee stream — when a protocol's collected fees are valued like an asset, the calculation used is exactly the PV = CF/(d−g) above.

Pitfalls

1. d ≤ g — divergence. The spreadsheet spits out a negative number, and the code quietly produces something bizarre. Validate the assumption before the calculation.
2. 1 − r in fixed-point — when d and g are close, the denominator approaches zero and precision collapses. If you're doing this math in Solidity, design the division order and scale first.
3. The r = 1 exception — the derivation's denominator becomes zero, so it needs separate handling (sum = a·n).

Exercises

1. In the code above, raise g to 0.07 (keeping d = 0.08) and check how much larger the value gets and how much slower the partial sum converges, then see what happens at g = 0.08.
2. Write the halving schedule in code, confirm total supply converges to 21,000,000, and see how the total changes if the halving interval isn't 210,000.
3. 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … (the harmonic series) diverges even though its terms go to 0 — explain in one paragraph why it's different from a geometric series.

Related code

docs/code/math/math-1.py — the Python code above, pulled out into a runnable file.

한국어

수열·급수·시그마 — 등비급수가 할인율이 되는 지점

매일의 수학 Day 1/52 · 2026-08-12 · 시작 구간(값의 시간가치와 시장)

"무한히 이어지는 현금흐름의 가치가 왜 유한한 숫자로 나오는가"는 금융의 질문처럼 보이지만, 답은 전부 고등학교 등비급수에 있다. 공비가 1보다 작으면 무한합이 수렴한다 — 그 한 줄이 DCF의 터미널 밸류이고, 토큰 총발행량이고, 비트코인의 2,100만 개다.

한 줄 정리 — 할인율은 "미래를 얼마나 빨리 줄일 것인가"를 정하는 공비다. 공비가 1보다 작아야 합이 유한하고, 그 조건이 곧 d > g 라는 밸류에이션 가정이다.

유한합: 한 줄 트릭으로 유도한다

첫항 a, 공비 r인 등비수열의 n항까지 합 S를 놓고, 양변에 r을 곱해 빼면 가운데가 전부 지워진다.

S    = a + ar + ar² + … + ar^(n−1)
rS   =     ar + ar² + … + ar^(n−1) + ar^n
─────────────────────────────────────────
S−rS = a − ar^n        →     S = a(1 − r^n)/(1 − r)     (r ≠ 1)

암기 대상이 아니라 유도 한 줄이다. 이 telescoping(망원경식 소거)은 분할상환분석의 포텐셜 함수 증명에서도 똑같은 모양으로 다시 나온다.

무한합: 수렴 조건이 전부다

|r| < 1 이면 n → ∞ 일 때 r^n → 0 이므로

S∞ = a / (1 − r)          (|r| < 1일 때만)

|r| ≥ 1 이면 항이 줄지 않아 발산한다. 이 조건 하나가 아래 모든 이야기의 관문이다.

할인율이 곧 공비다

1년 뒤의 1원은 지금의 1/(1+d)원이다(할인율 d). 매년 g만큼 성장하는 현금흐름 CF를 현재가치로 옮겨 더하면, 각 항의 비율이 일정한 등비급수가 된다.

PV = CF/(1+d) + CF(1+g)/(1+d)² + CF(1+g)²/(1+d)³ + …
   → 첫항 a = CF/(1+d),  공비 r = (1+g)/(1+d)
   → PV = a/(1−r) = CF/(d−g)

여기서 r < 1 ⟺ (1+g) < (1+d) ⟺ g < d 다. "성장률이 할인율보다 작아야 한다"는 밸류에이션의 가정은 재무 관습이 아니라 급수의 수렴 조건이고, d ≤ g로 잡으면 값이 발산해 계산 자체가 무의미해진다. DCF에서 터미널 밸류가 전체 가치의 절반 이상을 차지하는 경우가 흔한데, 그 절반이 이 한 줄에서 나온다는 뜻이기도 하다.

CF, d, g, N = 100.0, 0.08, 0.03, 200

closed = CF / (d - g)                       # 고든 성장모형
partial, term = 0.0, CF / (1 + d)
r = (1 + g) / (1 + d)
for k in range(N):                          # 부분합이 얼마나 빨리 붙는지
    partial += term
    if k in (9, 49, 99, 199):
        print(f"n={k+1:3}  부분합={partial:10.4f}  오차={closed-partial:8.4f}")
    term *= r
print(f"닫힌 형태 = {closed:.4f}")           # 2000.0000

수렴 속도도 공비가 정한다 — r = 1.03/1.08 ≈ 0.954 라 100항쯤에서야 소수점이 맞는다. d와 g가 가까울수록 값이 커지고 동시에 불안정해진다는 게 이 수식의 실질적 경고다.

블록체인에서 같은 급수가 나오는 자리

• 비트코인 총발행량 — 21만 블록마다 보상이 절반이 되므로 50 × 210,000 × (1 + ½ + ¼ + …) = 50 × 210,000 × 2 = 21,000,000. "왜 하필 2,100만"이라는 질문의 답이 무한 등비급수의 합 1/(1−½) = 2 다.
• 토큰 이미션·베스팅 — 매 기간 일정 비율로 줄어드는 배출 스케줄의 총량은 닫힌 형태로 계산된다. 감소율이 1에 가까우면 "언젠가 끝난다"가 실무적으로는 끝나지 않는다.
• 지수 백오프 — Verex ChainJob 의 5s → 25s → 125s 는 공비 5인 발산하는 등비수열이다. 발산이 목적이다: 재시도 총 횟수를 로그로 묶어 실패가 이어져도 시스템이 버틴다.
• 수수료 흐름의 현재가치 — 프로토콜이 걷는 수수료를 자산처럼 평가할 때 쓰는 계산이 정확히 위의 PV = CF/(d−g)이다.

함정

1. d ≤ g — 발산. 스프레드시트는 음수를 뱉고, 코드는 조용히 이상한 값을 낸다. 가정 검증을 계산 앞에 두어야 한다.
2. 고정소수점에서의 1 − r — d와 g가 가까우면 분모가 0에 가까워져 정밀도가 무너진다. Solidity에서 이런 계산을 한다면 나눗셈 순서와 스케일을 먼저 설계할 것.
3. r = 1 예외 — 유도식의 분모가 0이 되므로 별도 처리(합 = a·n)가 필요하다.

연습

1. 위 코드에서 g를 0.07로 올려(d = 0.08 유지) 값이 얼마나 커지고 부분합 수렴이 얼마나 느려지는지 확인하고, g = 0.08에서 무슨 일이 벌어지는지 볼 것.
2. 반감기 스케줄을 코드로 써서 총발행량이 21,000,000에 수렴하는 걸 확인하고, 반감기 간격을 21만이 아닌 값으로 바꿨을 때 총량이 어떻게 변하는지 볼 것.
3. 1 + ½ + ⅓ + ¼ + …(조화급수)는 항이 0으로 가는데도 발산한다 — 왜 등비급수와 다른지 한 문단으로 설명해 볼 것.

관련 코드

docs/code/math/math-1.py — 위 파이썬 코드를 그대로 실행 가능한 파일로 뺀 것.