📐 매일의 수학 — 프로토콜 엔지니어를 위한 트랙 (2026 H2)
7월부터 12월까지, 프로토콜·금융·암호학이 실제로 요구하는 수학을 하루 1개씩.
운영: 매일 리포트 안에서 1개. 증명을 다 따라가는 게 아니라 "필요할 때 꺼내 쓸 수 있는" 수준이 멈춤선.
연결: 각 항목은 Verex(LMSR·정산·오라클)나 EVM 실무의 어딘가에 닿는다.
시작 — 값의 시간가치와 시장 (Day 1–2)
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1수열·급수·시그마 DONE
수열은 규칙을 가진 수의 나열이고, 급수는 그 항들을 시그마 기호로 더한 것이다. 공비가 r인 등비수열의 합은 유한 항이면 a(1-r^n)/(1-r)이고, |r| < 1이면 항이 기하급수적으로 작아져 무한합이 a/(1-r)로 수렴한다.
How it works이 수렴 조건이 금융에서 할인율의 정체다 — 매년 g만큼 성장하는 현금흐름을 할인율 d로 현재가치로 바꾸면 공비가 (1+g)/(1+d)인 등비급수가 되고, d > g일 때만 합이 유한하다. 그 합이 곧 고든 성장모형 V = CF/(d-g)이며, DCF의 터미널 밸류가 이 한 줄에서 나온다.
Why무한한 미래 현금흐름을 유한한 숫자로 요약할 수 있는 이유가 바로 이 수렴성이고, d ≤ g로 가정을 잘못 잡으면 밸류에이션이 발산해 아무 의미 없는 숫자가 나온다.
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2공급·수요·효용·시장균형 DONE
수요곡선 D(p)는 우하향하고 공급곡선 S(p)는 우상향하며, 균형가격 p*는 D(p*) = S(p*)를 만족하는 점이다. 이 등식은 풀어서 얻는 답이 아니라 초과수요·초과공급이 가격을 밀어붙여 도달하는 피드백의 결과다.
How it works일반 재화와 달리 블록 공간은 블록당 가스 상한이 고정돼 공급곡선이 수직선이고, 그러면 가격이 전부 수요 쪽에서 결정돼 같은 크기의 수요 충격에도 가격이 훨씬 크게 움직인다. EIP-1559는 이 가격 발견을 경매에 맡기는 대신, 직전 블록의 혼잡도를 보고 base fee가 오르내리는 알고리즘으로 옮겨 사용자가 매번 처음부터 가격을 추측하지 않게 한다.
Why공급이 수직선인 시장에서 가격 변동성이 왜 유독 크게 튀는지를 이해해야, 가스비나 LMSR 보조금 같은 설계에서 그 변동을 흡수할 장치를 미리 넣을 수 있기 때문이다.
7월 — 이산수학·논리 (Day 3–10)
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3명제논리·집합·함수·관계 DONE
명제논리는 참·거짓 값을 갖는 명제와 결합자(∧, ∨, ¬, →, ↔)로 이루어지며, 특히 함의 p→q는 p가 거짓이면 무조건 참이라는 점과 그 대우 ¬q→¬p가 항상 동치라는 점이 핵심이다. 집합은 원소의 모임으로 ∈, ⊆, ∪, ∩, 여집합, 곱집합 같은 표기를 쓰고, 한정기호 ∀와 ∃는 부정할 때 서로 뒤바뀌며 안쪽 명제가 부정된다(¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)).
How it works관계는 곱집합 A×B의 부분집합으로 정의되며, 반사·대칭·추이 세 성질을 모두 가지면 동치관계가 되어 집합을 서로소인 동치류로 분할하고, 반사·반대칭·추이를 가지면 부분순서가 된다. 함수는 정의역의 각 원소에 정확히 하나의 값을 대응시키는 특수한 관계이며, 단사(injective)·전사(surjective)·전단사(bijective)의 구분이 크기 비교와 역함수 존재의 기준이 된다.
Why논문·명세·정형 검증 문서는 전부 이 표기로 쓰여 있어서, 기호를 못 읽으면 알고리즘의 전제 조건과 보장 범위를 오해하게 된다.
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4귀납법/구조적 재귀
수학적 귀납법은 자연수 집합의 정렬성(well-ordering)에 기반한 증명 원리로, 기저 사례와 "n에서 n+1로 넘어간다"는 단계를 보이면 모든 자연수에 대해 명제가 성립함을 결론짓는다. 강한 귀납법은 n보다 작은 모든 경우를 가정에 쓸 수 있게 한 형태이고, 이를 일반화하면 well-founded 관계 위의 정초 귀납법이 되어 자연수가 아닌 구조에도 적용된다.
How it works구조적 귀납법은 그 특수형으로, 대수적 자료형이 생성자로부터 유한하게 만들어진다는 사실을 이용해 각 생성자마다 명제를 보이는 방식이다. 트리에 대해서는 리프(기저)와 내부 노드(자식들의 가정으로부터 결론)를 각각 처리하면 되고, 이 증명 구조는 그대로 재귀 함수의 형태와 일치한다.
Why재귀 함수나 트리 자료구조의 불변식을 "돌려 보니 되더라"가 아니라 왜 항상 성립하는지로 설명할 수 있어야, 엣지 케이스를 테스트가 아니라 구조로 걸러낼 수 있다.
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5그래프 기초(DAG·트리·해시 링크)
그래프는 정점 집합과 간선 집합의 쌍이고, 간선에 방향이 있는지와 사이클이 있는지에 따라 성질이 크게 갈린다. DAG는 방향 간선만 있고 사이클이 없는 그래프로, 위상 정렬이 항상 가능하며 그 순서가 의존성 해결과 순차 처리의 기준이 된다.
How it works트리는 연결되어 있으면서 사이클이 없는 그래프로 정점이 n개면 간선이 정확히 n-1개이고, 루트를 정하면 각 정점에서 루트까지의 경로가 유일하다. 해시 링크는 간선을 메모리 주소가 아니라 대상 노드 내용의 해시로 두는 방식으로, 노드 내용을 바꾸면 해시가 달라져 그 노드를 가리키던 상위 노드까지 전부 달라지므로 구조 전체가 변조 감지 가능해진다.
Why블록체인 구조, 머클 증명, 빌드 의존성, 트랜잭션 의존 그래프가 전부 같은 DAG와 해시 링크 언어로 설명되기 때문이다.
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6비둘기집 원리
비둘기집 원리는 n개의 상자에 n보다 많은 물건을 넣으면 적어도 한 상자에는 두 개 이상이 들어간다는 진술이다. 일반화하면 m개 물건을 n개 상자에 넣을 때 어떤 상자에는 m/n의 올림 이상이 들어간다.
How it works해시 함수는 사실상 무한한 정의역을 고정 길이 출력으로 보내므로, 이 원리에 의해 충돌의 존재 자체는 증명적으로 피할 수 없다. 암호학적 해시가 노리는 것은 충돌이 없다는 것이 아니라 충돌을 계산적으로 찾기 어렵다는 성질이다.
Why출력 비트 수를 그대로 보안 강도로 착각해 해시를 잘라 쓰거나 짧은 식별자를 쓰면, 원상 공격이 아니라 충돌 공격 쪽에서 강도가 절반으로 떨어진다. 어떤 저항성이 필요한 자리인지 구분해야 안전한 길이를 고를 수 있다.
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7Big-O & 가스
Big-O는 입력 크기가 커질 때 자원 사용량이 어떤 함수의 상수배 이내로 증가하는지를 나타내는 점근적 상한이며, 정의상 상수 배수와 낮은 차수 항을 무시한다. 가스는 EVM에서 각 연산에 매겨진 비용 단위이고, 트랜잭션과 블록에 가스 한도가 있어 유한한 계산량만 허용된다는 뜻에서 '유한 계산의 가격표'다.
How it works두 개념의 결정적 차이는 가스가 상수까지 포함한 구체적 가격표라는 점이며, 그래서 스토리지 쓰기나 해시처럼 상수가 큰 연산이 n이 작은 구간에서도 전체 비용을 지배한다. 반대로 배열 전체를 도는 O(n) 루프는 n을 공격자가 키울 수 있으면 블록 가스 한도에 걸려 함수가 영구히 실행 불가능해지는 DoS 벡터가 된다.
Why온체인 코드에서는 느린 코드가 그냥 느린 게 아니라 아예 실행되지 않고 자금을 묶어 버릴 수 있다. 무한정 길어질 수 있는 배열 순회는 실제 취약점 유형이다.
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8관계와 동치류
집합 위의 이항 관계는 곱집합의 부분집합으로 정의되며, 어떤 두 원소가 관계를 맺는지를 나열한 것이다. 반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족하는 관계를 동치관계라 한다.
How it works동치관계는 집합을 서로소인 동치류들로 쪼개고, 반대로 임의의 파티션은 하나의 동치관계를 정의하므로 둘은 일대일로 대응한다. 동치류 전체의 집합을 몫집합이라 하며, 몫집합 위의 연산은 대표원을 무엇으로 고르든 결과가 같아야 잘 정의된다.
Why무엇을 같은 것으로 볼지 정하는 일은 중복 제거, 캐시 키, 리플레이 방지 같은 설계의 본질이며, 기준이 대칭성이나 추이성을 깨면 그대로 버그가 된다.
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9카운팅 원리(순열·조합·이항계수)
카운팅의 토대는 두 규칙이다. 서로 배타적인 선택지는 더하고(합의 법칙), 독립적으로 이어지는 단계는 곱한다(곱의 법칙).
How it works순서를 구분해 n개 중 k개를 뽑는 순열의 수는 n!/(n-k)!이고, 순서를 구분하지 않는 조합의 수는 이항계수 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)이다. 이항계수는 (x+y)^n의 전개 계수와 같고, 파스칼 항등식 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)는 '특정 원소를 포함하는 경우와 포함하지 않는 경우'로 나눈 조합적 논증에서 바로 나온다.
Why알고리즘의 경우의 수 분석, 해시 충돌 확률, 무작위 샘플링 설계 같은 실무 계산이 전부 이 기본 규칙 위에 서 있고, 여기서 어긋나면 확률 추정 전체가 틀어진다.
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10재귀관계와 생성함수(가볍게)
점화식은 수열의 항을 이전 항들로 정의하는 관계식이며, 알고리즘의 비용을 서술하는 가장 자연스러운 언어다. 상수 계수를 갖는 선형 동차 점화식은 특성방정식의 근으로부터 닫힌 형태의 해를 얻을 수 있고, 비동차 항이 있으면 특수해를 더해 일반해를 구성한다.
How it works생성함수는 수열을 형식적 멱급수의 계수로 담아 하나의 함수로 다루는 도구이며, 점화식을 이 함수에 대한 대수 방정식으로 바꿔 풀고 다시 계수를 읽어 내는 방식으로 닫힌 형태를 유도한다. 분할정복 알고리즘에서 나오는 형태의 점화식은 마스터 정리로 재귀 비용과 분할 비용 중 어느 쪽이 지배적인지 판정해 점근적 해를 바로 얻을 수 있다.
Why알고리즘 복잡도 분석, 재시도 백오프의 누적 지연, 큐 길이의 재귀적 추정 같은 실무 계산이 모두 점화식 세우기에서 출발한다.
8월 — 게임이론·프로토콜 경제학 (Day 11–17)
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11내시균형·죄수의 딜레마
내시균형은 각 참여자의 전략 조합에서, 누구도 혼자만 전략을 바꿔서는 이득을 볼 수 없는 상태이다. 이는 최적의 결과라는 뜻이 아니라 이탈 유인이 없는 안정점이라는 뜻이며, 죄수의 딜레마가 그 차이를 보여 준다.
How it works죄수의 딜레마에서는 상대가 무엇을 하든 배신이 더 낫기 때문에 배신이 우월전략이고, 결과적으로 둘 다 배신하는 조합이 유일한 내시균형이지만 둘 다 협력하는 것보다 모두에게 나쁘다. 즉 개인 합리성의 균형과 집단 효율(파레토 최적)은 일치하지 않을 수 있다.
Why프로토콜 설계는 결국 참여자가 이탈할 유인이 없도록 보상과 벌칙을 배치하는 일이라, 균형 개념 없이 만든 인센티브는 의도와 반대로 작동하기 쉽다.
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12경매(1·2위가격, 수입동등정리)
1위 가격 밀봉 경매는 최고 입찰자가 낙찰받고 자기 입찰액을 지불하는 방식이고, 2위 가격(비크리) 경매는 최고 입찰자가 낙찰받되 두 번째로 높은 입찰액을 지불하는 방식이다. 사적 가치 가정 아래 2위 가격 경매에서는 자기 가치를 그대로 쓰는 것이 우월전략이라, 입찰자가 경쟁자의 전략을 추측할 필요가 없다.
How it works반면 1위 가격 경매에서는 가치보다 낮게 쓰는 shading이 균형 전략이며, 얼마나 깎을지는 경쟁자 수와 가치 분포에 의존한다. 수입동등정리는 가치가 독립적이고 동일한 분포를 따르며 입찰자가 위험 중립적이고, 두 형식이 같은 배분 규칙(가장 높은 가치가 낙찰)과 같은 최저 유형의 기대 이득을 가질 때, 판매자의 기대 수입이 동일하다는 결과다.
Why블록 공간 배분, MEV 입찰, 토큰 세일, 청산 경매 등 프로토콜 설계의 여러 지점이 사실상 경매이고, 형식 선택이 참여자 전략과 담합·조작 가능성을 바꾼다.
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13메커니즘 디자인(VCG 개념)
메커니즘 디자인은 참가자들이 사적 정보(선호, 가치)를 가지고 전략적으로 행동한다는 전제 아래, 원하는 결과가 균형에서 나오도록 규칙 자체를 설계하는 분야다. 핵심 목표 중 하나는 유인 합치성으로, 특히 참가자가 남의 행동과 무관하게 진실 보고가 최적이 되는 dominant-strategy 유인 합치성이 가장 강한 성질이다.
How it worksVCG 메커니즘은 신고된 가치의 합을 최대화하는 배분을 선택하고, 각 참가자에게 '그가 참여함으로써 다른 참가자들이 잃은 후생'만큼을 지불액으로 매기는 방식이며, 이렇게 하면 각자의 순이익이 자신이 만든 사회적 잉여와 정렬되어 진실 신고가 우월 전략이 된다. 단일 물품 경매에 VCG를 적용하면 2등 가격 경매(Vickrey auction)가 되고, 낙찰자는 자기 입찰가가 아니라 차순위 입찰가를 낸다.
Why블록스페이스 경매, MEV 분배, 수수료 시장, 오라클 보상처럼 프로토콜이 값을 매기는 모든 자리는 메커니즘이고, 유인이 어긋나면 참가자가 규칙을 게임하는 방식으로 반드시 드러난다.
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14EIP-1559 수수료시장(base fee = AIMD)
EIP-1559는 블록 수수료를 프로토콜이 정하는 base fee와 사용자가 붙이는 priority fee로 나누고, base fee는 소각하고 priority fee만 블록 제안자에게 준다. 5%로 제한된다.
How it works이 되먹임은 혼잡 제어의 AIMD 계열 제어기와 같은 역할을 하며, 목표 사용률 주위로 수렴시키는 것이 설계 의도다. 사용자 입장에서 실제 지불액은 base fee + priority fee이되 max fee를 넘지 않고, 초과분은 환불되므로 first-price 경매에서 오던 과다 입찰 유인이 줄어든다.
Why가스비 추정 로직이나 트랜잭션 재전송 정책을 짤 때 base fee의 최대 변화율을 모르면 max fee를 너무 낮게 잡아 pending에 묶이거나 필요 이상으로 높게 잡게 된다.
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15셸링 포인트
셸링 포인트는 서로 소통할 수 없는 상황에서 참가자들이 자연스럽게 수렴하게 되는 선택지를 말한다. 조정 게임에는 균형이 여러 개 존재하는데, 보수 구조만으로는 어느 균형이 실제로 선택될지 정해지지 않고 현저성·단순성·문화적 맥락 같은 게임 밖의 요소가 선택을 결정한다는 것이 핵심 통찰이다.
How it works셸링 포인트가 작동하려면 그 선택지가 눈에 띄는 것만으로는 부족하고, 남들에게도 그것이 눈에 띈다는 사실을 서로가 안다는 공유 지식이 필요하다. 그래서 셸링 포인트는 강제력 없이도 조정을 만들어 내지만, 맥락이 달라지면 쉽게 무너진다.
Why강제 규칙이 아니라 다들 이걸 고를 것이라는 상호 기대만으로 유지되는 합의가 실제로 많고, 프로토콜 분기나 표준 채택, 오라클 투표가 그런 구조이기 때문이다.
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16조합 게임이론(제로섬 vs 비제로섬)
게임을 분류하는 가장 기본적인 축은 참가자 보수의 합이 상수인지 여부다. 제로섬 게임은 한쪽의 이득이 정확히 다른 쪽의 손실이라 순수 대립 구조이며, 유한 2인 제로섬 게임에는 혼합 전략을 허용할 때 minimax 값이 유일하게 존재한다는 정리가 있다.
How it works비제로섬 게임은 보수의 합이 전략에 따라 달라져 협력으로 모두가 나아지거나 모두가 나빠질 수 있고, 해 개념은 상대 전략이 주어졌을 때 누구도 일방적으로 바꿀 유인이 없는 내시 균형으로 옮겨간다. 유한 게임이면 혼합 전략 내시 균형은 항상 존재하지만 여러 개일 수 있고, 죄수의 딜레마처럼 균형이 전체 최적보다 나쁠 수도 있다.
Why프로토콜 설계는 결국 참여자가 규칙 안에서 무엇을 할지 예측하는 일이고, 제로섬으로 착각한 상황이 실제로는 담합이 이득인 비제로섬이면 인센티브 설계가 통째로 어긋난다. 균형이 존재한다는 것과 그 균형이 바람직하다는 것은 별개라는 점도 중요하다.
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17반복게임과 평판
1회성 게임에서는 배신이 우월전략이어서 협력이 균형이 되지 못하지만, 같은 상대와 게임이 반복되면 현재의 이득과 미래의 보복이 함께 계산되어 협력이 균형으로 유지될 수 있다. 핵심 변수는 할인인자로, 미래 보수를 얼마나 중시하는지(또는 게임이 계속될 확률이 얼마인지)를 나타내며, 이 값이 충분히 크면 이탈로 얻는 일회성 이득보다 이후 처벌로 잃는 손실이 커진다.
How it worksgrim trigger나 tit-for-tat 같은 유발전략은 바로 이 비교를 실행 가능한 규칙으로 만든 것이고, 협력 유지 조건은 '이탈 이득 ≤ 할인된 미래 처벌 손실'이라는 부등식으로 정리된다. 폴크정리는 할인인자가 1에 가까워질 때 개인 합리성을 만족하는 사실상 모든 보수 조합이 균형으로 지지될 수 있음을 말해 준다(증명은 다루지 않는다).
Why검증자, 오라클 제공자, 마켓메이커처럼 계속 참여하는 주체의 정직함은 처벌 가능성과 미래 수익의 크기로 설계되는 것이지 선의로 기대할 수 있는 게 아니다. 관계가 일회성이 되는 순간 그 균형은 사라진다.
9월 — 선형대수 (Day 18–26)
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18벡터·행렬·행렬곱·역행렬
벡터는 좌표로 표현된 원소이고 행렬은 선형변환을 기저에 대해 좌표로 적은 것이다. 행렬곱은 변환의 합성이므로 결합법칙은 성립하지만 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으며, (m×n)과 (n×p)처럼 안쪽 차원이 맞아야 정의되고 순진한 계산 비용은 O(mnp)다.
How it works역행렬은 정사각행렬이 가역일 때만 존재하고, 이는 행렬식이 0이 아니라는 것, 즉 열벡터들이 선형독립이라는 것과 동치다. 선형계 Ax=b를 풀 때 실제 수치계산에서는 역행렬을 명시적으로 구하기보다 LU 분해 같은 방법으로 바로 푸는 편이 빠르고 안정적이다.
Why선형대수 표기를 못 읽으면 최적화·통계·암호학 문서를 통째로 못 읽고, 역행렬을 남용하면 수치적으로 불안정한 결과를 그대로 신뢰하게 된다.
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19내적·노름·코사인 유사도
두 벡터의 내적은 대응 성분의 곱의 합으로 정의되며, 기하적으로는 두 벡터 크기의 곱에 사잇각의 코사인을 곱한 값과 같다. 노름은 벡터의 크기를 재는 함수로, L2 노름은 자기 자신과의 내적의 제곱근이고 L1은 성분 절댓값의 합, L∞는 최대 절댓값이다.
How it works코시-슈바르츠 부등식은 내적의 절댓값이 두 노름의 곱을 넘지 못한다고 말하며, 이 덕분에 내적을 두 노름으로 나눈 값이 항상 -1과 1 사이에 있어 코사인 유사도가 잘 정의된다. 코사인 유사도는 벡터의 크기를 무시하고 방향만 비교하므로, 문서 길이나 스케일 차이를 배제하고 싶을 때 유클리드 거리 대신 쓴다.
Why임베딩 검색, 유사도 랭킹, 정규화 여부에 따른 결과 차이 같은 실무 문제는 결국 '어떤 노름으로 재고 크기를 정규화했는가'로 갈린다.
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20유한체 GF(p) 위 선형대수 (12월 다리, 스레드 A)
GF(p)는 소수 p에 대한 modulo p 잉여류 집합이 이루는 유한체이며, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가진다. 이 체 위의 선형대수는 벡터공간, 랭크, 행렬식, 역행렬 같은 개념이 실수 위에서와 동일하게 정의되고 가우스 소거법도 그대로 작동하되, 나눗셈이 모듈러 곱셈 역원으로 대체된다.
How it works실수 계산과 결정적으로 다른 점은 크기 비교나 반올림 오차 개념이 없어서, 수치적 안정성을 위한 부분 피벗팅이 필요 없고 0이 아닌 아무 원소나 피벗으로 삼아도 된다는 것이다. 또 모든 연산이 정확하기 때문에 랭크와 해집합이 오차 없이 결정되며, 특성이 p라는 사실 때문에 p번 더하면 0이 되는 등 실수에서는 없는 현상이 나타난다.
Why비밀 분산, 소거 부호, 그리고 대부분의 ZK 증명계가 유한체 위의 다항식과 선형대수로 서술되므로, 이 계산 감각이 없으면 라이브러리를 블랙박스로만 쓰게 된다.
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21리스크·포트폴리오 행렬(공분산·상관)
여러 자산의 수익률을 벡터로 볼 때, 공분산 행렬은 각 쌍의 동조 정도를 모아 놓은 대칭 양의 준정부호 행렬이다. 상관계수 행렬은 각 성분을 표준편차로 나눠 정규화한 것으로, 스케일을 제거해 -1에서 1 사이 값으로 비교 가능하게 만든다.
How it works포트폴리오 비중 벡터 w에 대해 분산은 w에 공분산 행렬을 양쪽에서 곱한 이차형식으로 계산되며, 상관이 낮거나 음수인 자산을 섞을수록 이 값이 개별 분산의 가중합보다 작아진다. 이것이 분산투자 효과의 수학적 정체이다.
Why여러 포지션을 동시에 들고 있을 때 진짜 위험은 각 포지션의 변동성이 아니라 그들이 함께 움직이는 정도에서 나온다.
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22고유값/고유벡터
정방행렬 A에 대해 Av = λv를 만족하는 영이 아닌 벡터 v를 고유벡터, 스칼라 λ를 고유값이라 하며, 이는 그 선형변환이 해당 방향으로는 방향을 바꾸지 않고 크기만 λ배로 늘리거나 줄인다는 뜻이다. 고유값은 특성방정식 det(A - λI) = 0의 근으로 구하고, 고유벡터가 공간의 기저를 이루면 A는 대각화되어 A = PDP^(-1) 꼴이 되며 이때 A의 거듭제곱 계산이 대각 원소의 거듭제곱으로 단순해진다.
How it works실대칭행렬은 항상 실수 고유값과 서로 직교하는 고유벡터 기저를 가지며(스펙트럼 정리), 공분산행렬처럼 실무에서 자주 다루는 행렬이 여기에 속한다. 고유값의 절댓값은 변환을 반복 적용할 때의 성장과 감쇠를 지배하므로, 스펙트럼 반지름이 1보다 작은지가 반복 과정의 수렴 여부를 결정한다.
Why마르코프 체인의 정상분포, PCA에 의한 차원 축소, 반복 수치해법의 수렴 조건, 그래프의 구조 분석이 모두 고유값 문제로 환원된다.
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23PCA·SVD
SVD는 임의의 실수 행렬 A를 A = UΣVᵀ로 분해하는 것으로, U와 V는 직교행렬이고 Σ는 음이 아닌 특이값을 큰 순서로 담은 대각행렬이다. 기하학적으로는 어떤 선형 변환도 '회전(또는 반사) → 축별 스케일링 → 회전'의 합성으로 볼 수 있다는 뜻이며, 특이값의 크기는 각 방향이 얼마나 늘어나는지를, 0에 가까운 특이값의 개수는 행렬이 얼마나 계수 부족(rank deficient)인지를 말해 준다.
How it works상위 k개의 특이값만 남긴 절단 SVD는 프로베니우스 노름 기준에서 최적의 계수 k 근사라는 성질(Eckart–Young)을 가지며, 이것이 차원 축소와 잡음 제거의 이론적 근거다. PCA는 데이터를 열 평균으로 중심화한 뒤 공분산 행렬의 고유벡터를 찾는 절차인데, 중심화된 데이터 행렬의 SVD에서 V의 열이 바로 그 주성분이고 특이값의 제곱이 각 성분이 설명하는 분산에 비례한다.
Why고차원 지표를 압축하거나 상관된 신호에서 주요 변동 축을 뽑는 일은 이상 탐지·리스크 분해·특징 추출에서 반복적으로 등장하고, 조건수와 계수 부족을 읽는 것도 수치적 불안정성을 진단하는 기본 도구다.
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24수치선형대수(조건수)
조건수는 입력의 상대 오차가 출력의 상대 오차로 얼마나 증폭되는지를 나타내는 양이며, 선형계 Ax = b에서는 κ(A) = ||A|| · ||A⁻¹||로 정의된다. 2-노름에서는 이 값이 최대 특이값과 최소 특이값의 비 σ_max/σ_min와 같고, 따라서 A가 특이행렬에 가까울수록 조건수가 커진다.
How it works해의 상대 오차는 대략 조건수 곱하기 입력의 상대 오차로 상계되므로, 조건수가 10^k 규모면 유효 자릿수를 약 k자리 잃는다고 볼 수 있다. 중요한 구분은 조건수가 문제 자체의 성질이라는 점이며, 알고리즘의 성질인 수치 안정성과는 별개다.
Why회귀나 최적화에서 결과가 데이터의 미세한 변화에 요동친다면 코드 버그가 아니라 설계된 문제 자체가 ill-conditioned일 가능성이 높고, 대응 방법이 완전히 다르다.
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25행렬식과 랭크
행렬식은 정사각행렬에 대응하는 스칼라로, 그 행렬이 나타내는 선형변환이 부피를 몇 배로 바꾸는지와 방향을 뒤집는지를 나타낸다. 행렬식이 0이라는 것은 변환이 공간을 더 낮은 차원으로 납작하게 만든다는 뜻이고, 이는 역행렬이 존재하지 않는다는 것과 동치다.
How it works랭크는 행렬의 열들이 생성하는 공간의 차원, 즉 선형독립인 열의 최대 개수이며 행랭크와 열랭크는 언제나 같다. 랭크-널리티 정리에 따라 열이 n개인 행렬에서 랭크와 영공간의 차원을 더하면 n이 되고, 이 관계가 선형 연립방정식의 해가 유일한지 무수히 많은지를 결정한다.
Why선형 시스템이 유일해를 갖는지, 데이터에 사실상 중복된 설명변수가 있는지, 수치 계산이 불안정해질지가 전부 랭크와 조건수로 판정되기 때문이다.
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26최소제곱법(Least Squares)
최소제곱법은 방정식 수가 미지수 수보다 많아 정확한 해가 없는 과결정 연립방정식 Ax=b에서, 잔차의 유클리드 노름 ||Ax-b||를 최소로 만드는 x를 구하는 방법이다. 기하학적으로 이는 b를 A의 열공간 위로 정사영하는 것과 같고, 최적점에서 잔차는 열공간과 직교한다.
How it works이 직교 조건을 쓰면 정규방정식 AᵀAx = Aᵀb가 나오며, A의 열이 일차독립이면 해는 유일하다. 다만 수치적으로 AᵀA를 직접 만드는 것은 조건수를 제곱시켜 정밀도를 잃으므로, 실무에서는 QR 분해나 SVD로 푸는 편이 안전하다.
Why회귀·캘리브레이션·센서 보정 등 데이터를 모델에 맞추는 거의 모든 작업이 최소제곱이며, 정규방정식을 무심코 쓰다 조건수 문제로 계수가 요동치는 사고가 흔하다. 잔차가 왜 직교해야 하는지를 알면 결과 진단도 쉬워진다.
10월 — 미적분·최적화 (Day 27–34)
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27미분·기울기·연쇄법칙
미분은 한 점 근방에서 함수를 가장 잘 근사하는 선형 함수의 계수이며, 그래서 미분값은 '입력이 조금 변할 때 출력이 몇 배로 변하는가'를 뜻한다. 다변수 함수에서는 각 변수에 대한 편미분을 모은 벡터가 기울기(gradient)이고, 이 벡터는 그 점에서 함수값이 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리키며 크기는 그 증가율이다.
How it works연쇄법칙은 합성함수의 미분이 각 단계 미분의 곱이라는 규칙이고, 다변수에서는 야코비 행렬의 곱으로 일반화된다. 역전파는 이 야코비 곱을 출력 쪽에서 입력 쪽으로 계산해 중간 결과를 재사용함으로써, 파라미터가 많을 때 기울기를 훨씬 싸게 얻는 방법이다.
Why최적화, 곡선 적합, 파라미터 튜닝은 모두 기울기 위에서 돌아가고, 마켓메이커 곡선처럼 함수의 민감도를 따져야 하는 문제에서도 미분이 그대로 언어가 된다. 연쇄법칙을 모르면 합성된 시스템의 민감도를 계산할 수 없다.
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28편미분/그래디언트
편미분은 다변수 함수에서 한 변수만 변화시키고 나머지를 고정한 채 구한 미분이다. 그래디언트는 편미분들을 모은 벡터로, 그 점에서 함수가 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키고 크기는 그 방향의 증가율이다.
How it works미분 가능한 점에서 그래디언트는 그 점을 지나는 등위면에 수직이다. 최적화의 기본은 그래디언트 반대 방향으로 조금씩 이동하는 경사하강이며, 제약 없는 매끄러운 함수의 국소 최적점에서는 그래디언트가 0이 된다.
Why파라미터 캘리브레이션·비용 최소화·모델 학습이 전부 그래디언트 기반이라, 수식에서 민감도를 읽지 못하면 왜 발산하거나 수렴이 멈추는지 진단할 수 없다.
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29Gradient Descent / Convex 직관
경사하강법은 목적함수의 기울기가 가장 가파른 상승 방향임을 이용해, 그 반대 방향으로 학습률만큼 이동하기를 반복하는 최적화 방법이다. 볼록함수는 정의역의 두 점을 잇는 선분이 항상 함수 그래프 위에 있는 함수이며, 이 성질 덕분에 국소 최소점이 곧 전역 최소점이고 기울기가 0인 점이 최적해가 된다.
How it works기울기가 L-립시츠 연속인 매끄러운 볼록함수에서는 학습률을 1/L 이하로 잡으면 수렴이 보장되고, 강볼록성까지 있으면 오차가 기하급수적으로 줄어드는 더 빠른 속도를 얻는다. 학습률이 너무 크면 발산하고 너무 작으면 느리며, 조건수가 나쁘면 좁고 긴 골짜기에서 지그재그로 진동한다.
Why머신러닝뿐 아니라 시장조성 파라미터 튜닝이나 캘리브레이션 같은 수치 최적화에서, 수렴하지 않는 원인이 문제의 비볼록성인지 학습률·조건수 문제인지 구분해야 한다.
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30라그랑주/KKT(개념)
제약이 있는 최적화에서 라그랑주 승수법은 등식 제약을 목적함수에 승수를 곱해 더한 라그랑지안을 만들고, 그 정상점을 찾는 방법이다. 기하적으로는 최적점에서 목적함수의 기울기가 제약면의 기울기들이 만드는 공간 안에 놓여야 한다는 조건, 즉 제약을 따라 움직여서는 더 이상 개선할 방향이 없다는 조건을 표현한다.
How it works부등식 제약까지 포함하도록 확장한 것이 KKT 조건이며, 라그랑지안의 정상성, 원 문제의 실현가능성, 부등식 승수의 비음수성, 그리고 상보 여유성으로 구성된다. 상보 여유성은 제약이 활성이 아니면 그 승수가 0이어야 한다는 조건으로, 느슨한 제약은 최적해에 영향을 주지 않는다는 직관을 형식화한 것이다.
Why리스크 한도 하의 배분, 담보 제약 하의 포지션 최적화, 자원 제약이 있는 스케줄링처럼 실무의 최적화는 거의 항상 제약이 붙은 형태이고, 승수는 제약을 한 단위 완화했을 때의 가치라는 해석까지 준다.
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31뉴턴법/고정점 반복(StableSwap 필수)
뉴턴법은 함수 f의 근을 찾을 때 현재 점에서 접선을 그어 그 접선의 근으로 이동하는 반복법으로, x를 f(x)/f'(x)만큼 빼는 갱신을 반복한다. 근 근처에서 f'가 0이 아니고 초기값이 충분히 가까우면 오차가 매 단계 제곱으로 줄어드는 이차 수렴을 보인다.
How it works고정점 반복은 방정식을 x = g(x) 꼴로 바꿔 반복하는 더 일반적인 형태이며, g가 축약사상이면 수렴하고 그 속도는 보통 일차이다. 뉴턴법은 빠르지만 초기값이 나쁘거나 도함수가 작으면 발산하거나 진동할 수 있어, 반복 횟수 상한과 구간 안전장치가 필요하다.
Why닫힌 해가 없는 불변식(StableSwap의 D나 y 같은)은 반복법으로 풀 수밖에 없고, 온체인에서는 그 반복 하나하나가 가스이자 실패 가능 지점이다.
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32고정소수점 산술(Q64.96)
n 표기는 정수부 m비트와 소수부 n비트를 뜻하며 실제 값은 저장된 정수를 2의 n제곱으로 나눈 값이다. 96은 소수부를 96비트로 두는 형식으로 160비트 안에 담기며, Uniswap v3가 가격의 제곱근을 이 형식으로 저장하는 것으로 잘 알려져 있다.
How it works덧셈과 뺄셈은 정수 연산 그대로지만, 곱셈은 결과의 소수부가 2n비트가 되므로 다시 2의 n제곱으로 나눠 스케일을 되돌려야 하고 나눗셈은 반대로 먼저 곱해야 해서, 중간값 오버플로가 가장 큰 위험 요소가 된다. 그래서 512비트 중간 결과를 다루는 mulDiv 계열 구현이 필요하며, 나눗셈에서 하위 비트가 버려지는 절단 오차는 불가피하므로 반올림 방향을 프로토콜에 불리하지 않은 쪽으로 일관되게 정하는 것이 표준 관행이다.
WhyEVM에는 부동소수점이 없어 모든 가격·이자·수수료 계산이 고정소수점으로 이루어지고, 곱셈과 나눗셈의 순서 하나가 오버플로나 사용자에게 유리한 반올림 취약점으로 이어진다.
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33테일러 급수(1차 근사)
테일러 급수는 충분히 매끄러운 함수를 한 점 a 근방에서 그 점에서의 도함수 값들로 만든 다항식으로 근사하는 도구다. 1차 근사는 f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)로, 곡선을 접선으로 바꾸는 것이며 오차는 2차 항이 지배하므로 x가 a에 가까울수록 (x-a)²에 비례해 줄어든다.
How it works다변수에서는 f(x) ≈ f(a) + ∇f(a)ᵀ(x-a)가 되어 기울기 벡터가 국소 선형 모델이 되고, 이것이 경사하강법과 뉴턴법 같은 최적화·수치해석 기법이 서 있는 토대다. 자주 쓰는 근사인 (1+x)^n ≈ 1 + nx, e^x ≈ 1 + x, ln(1+x) ≈ x도 모두 a=0에서의 1차 테일러 전개이며, |x|가 작을 때만 유효하다는 조건이 함께 따라온다.
Why가격 곡선의 국소 민감도(슬리피지, 델타)나 수수료 변화의 영향을 빠르게 추정할 때 선형화가 기본 도구이고, 어디까지가 유효 범위인지 아는 것이 그 추정을 안전하게 만든다.
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34볼록집합/볼록함수 판별
집합 C가 볼록하다는 것은 C의 임의의 두 점을 잇는 선분이 통째로 C 안에 있다는 뜻이고, 함수 f가 볼록하다는 것은 정의역이 볼록이고 임의의 두 점과 0과 1 사이의 계수에 대해 f(θx + (1−θ)y) ≤ θf(x) + (1−θ)f(y)가 성립한다는 뜻이다. 동치 조건으로 f의 에피그래프가 볼록집합이라는 기하적 특징이 있고, 미분 가능하면 1차 조건(어느 점의 접평면이 함수의 전역 하계)으로, 두 번 미분 가능하면 Hessian이 준정부호(PSD)라는 2차 조건으로 판별한다.
How it works볼록성은 연산에서 보존되며, 비음수 가중합, 아핀 사상과의 합성, 점별 상한(supremum), 볼록·비감소 함수와의 합성 등이 대표적인 보존 규칙이다. 볼록 문제에서는 국소 최소가 곧 전역 최소이고 강한 쌍대성이 성립하는 조건이 잘 알려져 있어, 문제를 볼록으로 만들 수 있느냐가 최적화 실무의 핵심 갈림길이 된다.
Why"볼록이냐"에 따라 전역 최적을 보장받는 solver를 쓸지, 초기값에 의존하는 휴리스틱을 쓸지가 갈리므로 모델링 단계에서 판별할 수 있어야 한다.
11월 — 확률·통계·금융수학 (Day 35–43)
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35조건부확률·베이즈·기대값·정규분포
조건부확률 P(A|B)는 B가 일어났다는 정보 아래에서 A가 일어날 확률이며 P(A와 B가 함께)를 P(B)로 나눈 값으로 정의된다. 베이즈 정리는 P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)로, 사전확률을 새 증거의 우도로 갱신해 사후확률을 얻는 절차를 준다.
How it works기대값은 확률로 가중한 평균이고 선형성 덕분에 독립이 아니어도 합의 기대값은 기대값의 합이지만, 분산은 상관이 없을 때만 단순히 더해진다. 정규분포는 평균과 분산으로 결정되는 분포이며, 독립이고 분산이 유한한 확률변수를 많이 더하면 그 합의 분포가 정규분포에 가까워진다는 중심극한정리 때문에 기본 모형으로 쓰인다.
Why기저율이 낮으면 정확도 높은 탐지기라도 양성 판정 대부분이 거짓이라는 베이즈적 결론이 실무 판단을 뒤집고, 예측시장 가격 자체가 사후확률로 읽히기 때문이다.
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36로그수익률·변동성(σ)
로그수익률은 연속된 가격의 비를 자연로그로 취한 값 ln(P_t/P_{t-1})로 정의된다. 단순수익률과 달리 기간을 이어 붙일 때 단순 덧셈이 되어 다기간 집계가 쉽고, 상승과 하락이 대칭적으로 표현되며 값이 작을 때는 단순수익률과 거의 같다.
How it works변동성 σ는 이 수익률의 표준편차이며, 수익률이 독립동일분포라는 가정 아래에서는 기간 길이의 제곱근에 비례해 커지므로 짧은 주기 변동성에 기간 수의 제곱근을 곱해 환산한다. 실제 금융 시계열은 이 가정을 잘 만족하지 않아 두꺼운 꼬리와 변동성 군집이 나타나고, 그래서 과거 데이터로 계산한 실현 변동성과 옵션 가격에서 역산한 내재 변동성이 서로 다르다.
Why리스크 한도, 마진, 가격 모델이 모두 변동성 수치 위에 서 있는데 제곱근 스케일링을 기계적으로 적용하면 꼬리 위험을 체계적으로 과소평가한다. 어떤 가정에서 나온 숫자인지 아는 것이 핵심이다.
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37집중부등식(Chebyshev·Hoeffding, 12월 다리)
집중부등식은 확률변수가 기댓값 근처에 얼마나 몰려 있는지를 보장하는 부등식들의 총칭이다. Markov 부등식은 음이 아닌 변수에 대해 평균만으로 꼬리를 제한하는 가장 약한 형태이고, Chebyshev 부등식은 여기에 분산 정보를 더해 기댓값에서 표준편차의 k배 이상 벗어날 확률이 1/k² 이하임을 보장한다.
How it worksHoeffding 부등식은 서로 독립이고 각각 유한한 구간 안에 갇힌 변수들의 평균에 대해, 벗어남 확률이 표본 수와 벗어남 폭에 대해 지수적으로 감소함을 보장한다. 이 계열의 일관된 원리는 가정을 더 강하게 둘수록(비음수 → 분산 유한 → 유계·독립) 꼬리 경계가 더 날카로워진다는 것이다.
Why샘플링 기반 추정, A/B 판단, 랜덤 알고리즘의 실패 확률 산정에서 필요한 표본 수를 근거 있게 정하려면 이 부등식이 있어야 한다. 감으로 정한 표본 수는 대개 과소하거나 과대하다.
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38랜덤워크/GBM(개념)
랜덤워크는 독립적인 증분을 계속 더해가는 확률과정으로, 대칭 단순 랜덤워크에서는 분산이 시간에 비례해 커지므로 전형적인 이동 거리는 시간의 제곱근 규모다. 이를 연속시간으로 극한을 취한 것이 브라운 운동이며, 증분이 서로 독립이고 정규분포를 따른다.
How it works기하 브라운 운동은 값의 로그가 브라운 운동을 따르도록 만든 모형으로, 값이 음수가 되지 않고 수익률이 로그정규분포를 갖기 때문에 자산가격 모형으로 널리 쓰인다. 다만 실제 시장은 두꺼운 꼬리와 변동성 군집을 보여 GBM은 어디까지나 1차 근사다.
Why가격·잔고·큐 길이처럼 누적되는 확률 과정의 변동 폭을 제곱근 스케일로 어림할 수 있어야 리스크 한도나 타임아웃을 근거 있게 정할 수 있다.
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39랜덤워크·열확산 방정식
1900년 루이 바슐리에는 주가를 무작위 보행으로 취급해 옵션 가격을 설명했는데, 그 방정식은 5년 뒤 아인슈타인이 브라운 운동을 설명한 방정식과 수학적으로 동일하다. 무작위 보행의 확률밀도가 시간에 따라 퍼지는 과정을 극한으로 보내면 조제프 푸리에의 열확산 방정식 ∂p/∂t = D·∂²p/∂x² 이 그대로 나온다.
How it works1973년 블랙-숄즈-머튼은 기초자산이 기하 브라운 운동을 따른다는 가정으로 옵션 가격이 만족하는 편미분방정식을 유도했는데, 변수를 로그가격·시간반전으로 바꾸면 이 식이 정확히 같은 열확산 방정식 모양이 된다. 오늘날 이미지 생성 AI의 디퓨전 모델은 원본 이미지에 가우시안 잡음을 무작위 보행처럼 더했다가, 신경망이 근사한 역방향 확산 과정으로 노이즈에서 이미지를 만들어낸다 — 같은 방정식이 120여 년 뒤 픽셀에 적용된 것이다.
Why무작위 보행·열확산·옵션가격·디퓨전모델이 표면적으로 무관해 보여도 전부 같은 편미분방정식의 다른 경계조건일 뿐이라는 걸 알면, 새로운 확률적 현상을 만났을 때 이미 아는 도구로 접근할 수 있기 때문이다.
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40VaR·꼬리리스크
VaR는 주어진 기간과 신뢰수준에서 손실이 넘지 않을 것으로 보는 임계값으로, 손실분포의 분위수로 정의된다. 정의상 VaR는 그 임계값을 넘었을 때 손실이 얼마나 커지는지는 아무것도 말해주지 않으며, 이것이 꼬리리스크를 과소평가하는 근본 한계다.
How it works또한 VaR는 일반적으로 열등가법성(subadditivity)을 만족하지 않아 포트폴리오를 합쳤을 때 위험이 부분의 합보다 커 보이는 경우가 생기고, 이 때문에 정합적 위험척도(coherent risk measure)로 인정되지 않는다. 기대손실(Expected Shortfall, CVaR)은 VaR를 초과하는 손실의 조건부 기댓값으로 정의되어 꼬리의 크기를 반영하고 열등가법성을 만족한다.
Why청산 임계값이나 담보 요구치를 정규분포 가정 VaR로 잡으면 평상시엔 멀쩡하다가 극단 구간에서 정확히 무너지는 설계가 된다.
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41LMSR/마켓 스코어링(Verex 연결)
마켓 스코어링 규칙은 적정 스코어링 규칙을 자동화된 마켓 메이커로 바꾼 것으로, 참여자가 현재 분포를 자기 믿음으로 갱신하고 그 개선분만큼 보상받는 구조다. LMSR은 로그 스코어링 규칙에서 유도되며, 각 결과에 대해 지금까지 팔린 수량 벡터 q에 대한 비용함수를 로그-합-지수 형태로 정의한다.
How it works어떤 거래의 비용은 거래 후 비용함수 값에서 거래 전 값을 뺀 차이이므로, 같은 최종 상태에 도달하는 모든 경로의 총비용이 동일한 경로 독립성이 성립한다. 순간 가격은 비용함수의 편미분이고 이는 수량을 유동성 파라미터로 나눈 값의 softmax 형태여서, 가격들의 합이 항상 1이 되어 확률로 해석된다.
WhyLMSR은 상대 주문이 없어도 항상 호가를 제시하므로 초기 유동성 부트스트래핑에 쓰이고, 유동성 파라미터 선택이 곧 슬리피지와 운영 손실 예산 사이의 직접적인 교환이 된다.
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42마르코프 체인(개념)
마르코프 체인은 다음 상태의 확률분포가 현재 상태에만 의존하고 그 이전 경로에는 의존하지 않는 확률 과정이다. 유한 상태에서는 전이확률 행렬 P로 전부 기술되고, n단계 후 분포는 초기 분포에 P의 n제곱을 곱한 것이 된다.
How it works정상분포는 자기 자신을 다시 만들어 내는 분포로, 체인이 기약(irreducible)이고 비주기적(aperiodic)이면 정상분포가 유일하고 초기 상태와 무관하게 그 분포로 수렴한다. 수렴 속도는 P의 두 번째로 큰 고유값 크기와 관련되며, 이것이 혼합 시간의 개념이다.
Why대기열 길이, 재시도 상태, 노드 동기화 단계처럼 "현재 상태에서 다음이 결정되는" 시스템의 장기 거동을 시뮬레이션 없이 계산할 수 있게 해 준다.
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43상관관계와 공적분(가볍게)
상관계수는 두 변수의 선형 동조 정도를 -1과 1 사이로 표준화한 값이며, 인과를 뜻하지 않고 비선형 관계도 제대로 잡지 못한다. 시계열에서는 두 계열이 각각 추세를 가질 경우 실제 관계가 없어도 상관과 회귀 계수가 크게 나오는 허위 회귀 문제가 생기므로, 수준(level)끼리의 상관은 그대로 믿기 어렵다.
How it works공적분은 각 계열은 비정상(단위근을 가짐)이지만 둘의 어떤 선형결합은 정상이 되어 평균으로 회귀하는 관계를 말하며, 이는 두 계열 사이에 장기 균형이 존재한다는 진술이다. 실무 절차는 각 계열의 단위근을 검정하고, 공적분 관계를 추정한 뒤 그 잔차가 정상인지 검정하는 순서이며, 공적분이 성립하면 오차수정모형으로 단기 이탈이 균형으로 되돌아가는 속도를 모델링한다.
Why페어 트레이딩, 헤지 비율 산정, 스테이블코인이나 LST의 페그 이탈 분석은 모두 두 계열의 수준이 장기적으로 붙어 있는지를 묻는 질문이라 상관이 아니라 공적분의 영역이다.
12월 — 암호학·정보이론 (Day 44–52)
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44정수론·모듈러 산술
모듈러 산술은 정수를 법 n으로 나눈 나머지로 동일시하는 체계로, 덧셈·뺄셈·곱셈은 나머지 연산과 잘 호환되지만 나눗셈은 역원이 존재할 때만 정의된다. a가 법 n에서 곱셈 역원을 가질 필요충분조건은 gcd(a, n) = 1이며, 그 역원은 확장 유클리드 알고리즘으로 ax + ny = 1을 풀어 얻는다.
How it worksn이 소수 p이면 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가져 유한체가 되고, 페르마의 소정리에 의해 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)이므로 역원을 a^(p-2)로도 구할 수 있다. 오일러 정리는 이를 일반화해 gcd(a, n) = 1일 때 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)을 주며, 이것이 RSA류 시스템에서 지수를 다루는 근거다.
Why타원곡선 연산, 해시-투-필드, ZK 회로의 산술이 전부 유한체 위에서 돌아가므로, 모듈러 역원과 오버플로 처리를 이해하지 못하면 암호 코드의 정확성도 성능도 판단할 수 없다.
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45군론 기초(순환군·이산로그)
군은 결합법칙, 항등원, 역원을 갖춘 이항 연산이 있는 집합이고, 하나의 원소 g의 거듭제곱만으로 전체가 생성되면 순환군이라 하며 g를 생성원이라 부른다. 유한군에서 원소의 위수는 그 원소가 만드는 순환 부분군의 크기이고, Lagrange 정리에 의해 부분군의 크기는 항상 전체 군의 크기를 나눈다.
How it works이산로그 문제는 순환군에서 g와 h = g^x가 주어졌을 때 지수 x를 찾는 문제로, 지수 계산은 반복 제곱으로 빠른 반면 역방향은 적절히 고른 군에서 어렵다고 믿어지는 비대칭성이 공개키 암호의 토대다. 다만 어려움은 군의 선택에 달려 있어, 곱셈군의 크기가 작은 소인수만으로 분해되면 Pohlig-Hellman으로 문제가 잘게 쪼개지므로 군의 위수가 큰 소수여야 한다.
Why서명이나 커밋먼트를 다룰 때 스칼라를 군의 위수로 모듈러 연산해야 하는데, 이 구조를 모르면 위수 초과 스칼라나 소부분군(small subgroup) 점을 검사 없이 받아들이는 취약점을 만든다.
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46ECC·디지털 서명
타원곡선 암호는 유한체 위에 정의된 타원곡선 점들이 이루는 덧셈군을 사용하며, 안전성은 점 P와 kP를 알아도 k를 구하기 어렵다는 이산로그 문제에 기반한다. 같은 안전 수준에서 RSA보다 키와 서명이 훨씬 짧고 연산이 빨라 실무에서 널리 쓰인다.
How it works디지털 서명은 개인키로 생성하고 공개키로 검증하는 값으로, 위조 불가능성과 함께 제3자가 서명자와 메시지를 확인할 수 있게 해 준다. ECDSA는 서명마다 비밀 난수를 필요로 하는데 이 값이 재사용되거나 편향되면 서명 두 개만으로 개인키가 복원되므로, 메시지와 키에서 결정론적으로 유도하는 방식이 권장된다.
Why지갑, 인증 토큰, 트랜잭션 승인까지 전부 여기에 걸려 있고 난수 재사용, 서명 연성, 서명 대상 미고정 같은 실수는 곧바로 자금 탈취로 이어지기 때문이다.
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47라그랑주 보간 + Reed-Solomon (스레드 A 수확)
서로 다른 k개의 점이 주어지면 차수가 k-1 이하인 다항식이 유일하게 결정되고, 라그랑주 보간은 각 점에서만 1이고 나머지 점에서 0이 되는 기저 다항식을 조합해 그 다항식을 명시적으로 구성한다. Reed-Solomon 부호는 이 사실을 그대로 부호화에 쓴다.
How it worksk개의 데이터 심볼을 다항식의 계수로 보고 서로 다른 n개의 점에서 평가한 값을 코드워드로 삼으면, n개 중 임의의 k개만 살아남아도 보간으로 원래 다항식을 복원할 수 있다. 그래서 이 부호는 최소 거리가 n-k+1인 MDS 부호가 되어 최대 n-k개의 소실을 복구하고, 위치를 모르는 오류는 그 절반까지 정정한다.
Why복제 대신 소실 부호를 쓰면 같은 내구성을 훨씬 적은 저장 비용으로 얻을 수 있어 스토리지·전송 설계의 기본 도구다. 또 임계 서명과 데이터 가용성 설계가 모두 이 다항식 논리 위에 서 있다.
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48페어링/KZG(개념)
페어링은 두 타원곡선 군의 원소를 받아 세 번째 군의 원소를 내놓는 쌍선형 사상으로, 지수(스칼라)가 곱해지는 관계를 군 원소만 보고 확인할 수 있게 해 준다. 이 성질 덕분에 숨겨진 값들 사이의 곱셈 관계를 검증할 수 있고, BLS 서명이나 여러 증명 시스템의 검증식이 여기에 기반한다.
How it worksKZG 커밋먼트는 다항식 하나를 상수 크기의 군 원소 하나로 커밋하고, 임의의 점 z에서 f(z)=y라는 사실을 역시 상수 크기의 증명으로 열 수 있게 한다. 원리는 f(X)−y가 (X−z)로 나누어떨어진다는 사실이며, 그 몫 다항식에 대한 커밋먼트를 증명으로 제출하면 검증자가 페어링 한 번으로 나눗셈 관계를 확인한다.
Why블롭 데이터 커밋먼트, 롤업 증명, 서명 집계 등 최근 이더리움 인프라의 상당 부분이 페어링과 다항식 커밋먼트 위에 서 있어서, 개념 없이는 설계 문서를 읽을 수 없다. 신뢰 설정 가정은 시스템의 실제 신뢰 경계이기도 하다.
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49엔트로피·정보·코딩
한 사건의 정보량은 그 확률의 역수에 로그를 취한 값으로 정의되고, 엔트로피는 그 기대값이라 분포의 평균 불확실성을 나타낸다. 로그의 밑이 2이면 단위는 비트이고, 원소 수가 정해졌을 때 균등분포에서 엔트로피가 최대가 된다.
How it works소스 코딩 정리에 따르면 무손실 부호의 평균 길이는 엔트로피보다 짧아질 수 없고, 허프만이나 산술부호화로 그 한계에 임의로 가깝게 접근할 수 있다. 상대 엔트로피(KL 발산)는 틀린 분포를 가정하고 부호화했을 때 치르는 추가 비용이고, 상호정보량은 한 변수를 알았을 때 줄어드는 다른 변수의 불확실성이다.
Why압축의 이론적 한계, 시드·패스워드의 실제 엔트로피, 로그나 특징의 정보량 판단이 모두 여기 걸려 있어서, 엔트로피를 과대평가하면 안전하다고 착각한 난수를 쓰게 된다.
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50해시함수 설계 원리(스펀지·머클-담고르)
암호학적 해시함수는 임의 길이 입력을 고정 길이 출력으로 보내면서 원상 저항성, 제2원상 저항성, 충돌 저항성을 목표로 한다. 생일 문제 때문에 n비트 출력의 충돌 저항성은 대략 2의 n/2제곱 수준이 상한이므로 출력 길이 선택이 곧 보안 수준이 된다.
How it works머클-담고르 구조는 입력을 블록으로 나눠 압축함수를 반복 적용하고 마지막에 길이를 포함한 패딩을 붙이는 방식으로, 압축함수가 충돌 저항적이면 전체도 충돌 저항적임을 증명할 수 있지만 내부 상태가 곧 출력이라 길이 확장 공격에 취약하다. 스펀지 구조는 내부 상태를 외부에 드러나는 rate 부분과 절대 드러나지 않는 capacity 부분으로 나누고, 입력을 흡수(absorb)한 뒤 필요한 만큼 출력을 짜내는(squeeze) 방식이라 임의 길이 출력을 지원하고 길이 확장 공격이 성립하지 않는다.
Why길이 확장 공격 가능 여부를 모른 채 해시를 인증에 쓰면 MAC 구성이 깨지고, 출력 길이를 잘못 고르면 충돌 기반 공격에 문이 열린다.
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51영지식 증명의 3성질(완전성·건전성·영지식)
대화형 증명 시스템은 증명자가 검증자에게 어떤 진술이 참임을 납득시키는 절차이며, 영지식 증명은 여기에 세 가지 성질을 요구한다. 완전성은 진술이 참이고 양쪽이 정직하게 프로토콜을 따르면 검증자가 압도적인 확률로 수락한다는 성질이다.
How it works건전성은 진술이 거짓이면 어떤 증명자도 무시할 만한 확률로만 검증자를 속일 수 있다는 성질이며, 이 보장이 모든 증명자에 대해 성립하면 증명, 계산 능력이 제한된 증명자에 대해서만 성립하면 논증이라 부른다. 영지식성은 검증자가 얻는 것이 진술이 참이라는 사실뿐임을 뜻하며, 증인을 모르는 시뮬레이터가 실제 대화 기록과 구별할 수 없는 것을 만들어 낼 수 있다는 형태로 형식화된다.
Why실무에서 무너지는 지점은 대개 세 성질 자체가 아니라 그것이 성립하는 전제인데, 신뢰 설정의 무결성이나 대화형 프로토콜을 비대화형으로 바꿀 때의 가정이 여기에 해당한다.
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52신뢰된 셋업 vs 투명성(STARK vs SNARK)
많은 SNARK는 증명 시스템을 쓰기 전에 공개 파라미터를 생성하는 신뢰된 셋업을 요구하고, 이때 쓰인 비밀값(흔히 toxic waste라 부른다)이 폐기되지 않으면 거짓 증명을 만들 수 있다. 그래서 다자간 의식(MPC ceremony)으로 참가자 중 한 명만 정직하면 안전하도록 만들고, KZG 기반의 universal·updatable 셋업처럼 회로마다 다시 하지 않아도 되는 형태가 선호된다.
How it worksSTARK는 해시 함수와 오류정정부호에만 의존하는 구성이라 비밀 파라미터가 없고, 따라서 투명(transparent)하며 셋업 신뢰 가정이 사라진다. 대가는 증명 크기와 검증 비용으로, 일반적으로 STARK 증명이 페어링 기반 SNARK보다 크다.
Why증명 시스템 선택은 성능 문제이기 이전에 신뢰 가정 문제이고, 셋업이 오염되면 그 위의 모든 검증이 무의미해진다.
Source: docs/knowledge/math-50-curriculum.md (auto-generated by scripts/generate-curriculum-html.mjs — edit the curriculum, not this file)